ritorna all'inizio Sono i sillogismi che non hanno le due premesse categoriche, che sono mancanti di una premessa o che presentano una struttura composta.
Finora abbiamo visto il sillogismo categorico in cui ognuna delle due premesse, e ovviamente la conclusione, è categorica. Si possono però avere anche sillogismi in cui ciò non accade. Nella fattispecie abbiamo
Il sillogismo disgiuntivo (aut): la premessa maggiore è data dalla composizione disgiuntiva di due enunciati categorici, mentre la premessa minore da un unico enunciato categorico che rompe la disgiunzione della premessa maggiore:
Callia è di Atene o è di Megara
Callia è di Atene
quindi Callia non è di Megara
Il sillogismo ipotetico: una o entrambe le premesse sono ipotetiche; rispettivamente abbiamo:
Il sillogismo ipotetico puro: entrambe le premesse sono ipotetiche
Se Callia è calvo allora Callia non usa il pettine
Se Callia non usa il pettine allora Callia non compra pettini
quindi se Callia è calvo allora Callia non compra pettini.
in questo caso ogni premessa è costituita da due enunciati di cui il primo è l'antecedente e il secondo il conseguente, mentre la conseguenza ha come antecedente l'antecedente della premessa maggiore e come conseguente il conseguente della premessa minore. In definitiva, sotto vi è la transitività dell'implicazione. Parlando in termini tradizionali, il sillogismo ipotetico puro può essere pensato come un sorite, che vedremo, ove i termini sono ipotetici.
Sillogismo ipotetico misto: la premessa maggiore è ipotetica e la premessa minore contiene o l'affermazione dell'antecedente (siamo nel caso del modus ponens), o la negazione del conseguente (siamo nel caso del modus tollens):
Se Callia è calvo allora Callia non usa il pettine
modus ponens Callia è calvo
Quindi Callia non usa il pettine
Se Callia è calvo allora Callia non usa il pettine
modus tollens Callia usa il pettine
Quindi Callia non è calvo
Sillogismi imperfetti o entimema
Un'altra classe di sillogismi è quella dei sillogismi categorici imperfetti, ossia degli entimemi, ovvero sillogismi dove può mancare la premessa maggiore ("Callia è buono", allora "Callia deve essere amato"), o la premessa minore ("Tutti i greci sono uomini liberi", allora "Tutti gli ateniesi sono uomini liberi"), o la conclusione ("Nessun buon governante si lascia corrompere", "Qualcuno al governo si è lasciato corrompere").
Inoltre, oltre ai sillogismi semplici visti finora abbiamo i sillogismi composti, cioè quei sillogismi che possono pensati come composti da, e quindi ridotti a, sillogismi semplici. Essi sono
Sillogismo congiuntivo: una delle due premesse contiene una congiunzione
Tutti gli ateniesi sono greci
Callia e Cleone sono ateniesi
Quindi Callia e Cleone sono greci.
In effetti, potremmo fare indipendentemente un sillogismo per Callia e uno per Cleone.
Polisillogismo: catena di due o più sillogismi ove ogni premessa maggiore è a sua volta la conclusione di un sillogismo
Tutti gli ateniesi sono greci
Qualche ateniese è calvo
Quindi qualche greco è calvo
Tutti i calvi non si pettinano
Quindi qualche greco non si pettina
Sorite: catena di enunciati ove l'ultimo è la conclusione che è ottenuta dal soggetto del primo enunciato e dal predicato del penultimo enunciato. Inoltre il predicato di ogni premessa è il soggetto della premessa seguente ("Chi non ama non gode", "Chi non gode non passa momenti felici", "Chi non passa momenti felici è triste", allora "Chi non ama è triste"). Si basa sul principio aristotelico secondo cui ciò che si predica del predicato si predica del soggetto (nota notae est nota rei ipsius). Ogni sorite può essere trasformato in un polisillogismo, o, meglio, potremmo pensare un sorite come a un polisillogismo mancante di certe premesse, ovvero come a una catena di entimemi.
Epicherema: sillogismo ove una o entrambe le premesse sono seguite da una giustificazione. Ogni giustificazione può essere pensata come un entimema e quindi se si inseriscono gli enunciati che mancano l'epicherema diventa un polisillogismo ("Tutti i corpi cadono verso la Terra, per la legge di attrazione gravitazionale", "La penna è un corpo", allora "La penna cade verso la Terra").
Dilemma: sillogismo ove nelle due premesse compaiono delle disgiunzioni (aut) costruite in modo tale che colui che deve criticarlo non può farlo agevolmente. Quindi più che valore teorico ha valore retorico in quanto tende a mettere l'avversario a cui lo si propone di fronte a due (o più) alternative le cui conclusioni sono sempre sfavorevoli. Abbiamo due tipi di dilemma:
Dilemma semplice: ove la conclusione è un enunciato categorico semplice
La religione persuade o con i miracoli o senza miracoli
Se la religione persuade con i miracoli è divina
e se persuade senza miracoli è miracolosa e quindi divina
Quindi la religione è sempre divina.
Dilemma composto: la conclusione è un enunciato composto
Litigare o è utile o è inutile
Se litigare fosse utile sarebbe comunque un atto sgradevole,
e se litigare fosse inutile non varrebbe la pena di farlo
Litigare o è sgradevole o non vale la pena di farlo.
In entrambi i casi la premessa maggiore contiene una disgiunzione, mentre la premessa minore una congiunzione. Questo fa sì che vi sia differenza fra il dilemma e il sillogismo disgiuntivo in quanto in quest'ultimo l'alternativa offerta nella premessa maggiore era risolta nella premessa minore, mentre qui non vi è alcuna risoluzione ma un'offerta di risoluzione che comunque venga fatta comporta sempre un risultato sfavorevole per chi la compie.
Se invece di due opzioni ne abbiamo tre, o quattro, abbiamo un trilemma, o un quadrilemma.
Visto che un dilemma è soprattutto uno strumento retorico, esso deve essere ben costruito, in modo da mettere l'avversario nell'impossibilità di replicare. E questo risultato è raggiunto se:
i. la disgiunzione non lascia alcuno scampo;
ii. vale ognuno dei ragionamenti dati nella congiunzione.
In effetti, chi tenta di controbattere il dilemma cerca proprio di
i'. "passare in mezzo alle corna" del dilemma, ovvero mostrare che la disgiunzione non è così stringente;
ii'. "afferrare le corna" del dilemma, ovvero mostrare che uno dei due ragionamenti della congiunzione non è corretto.
A questi due si può aggiungere una terza possibilità
iii'. presentare un controdilemma basandosi sul dilemma dell'avversario in modo da confutarlo o da mostrare che si possono ottenere conclusioni diverse a partire dalle premesse che "sembrano" le stesse.
Un classico esempio di argomentazione tramite dilemma è dato dalla famosa disputa fra il sofista Protagora e il suo allievo Eulato da lui citato in giudizio in quanto insolvente. In effetti, Eulato aveva stipulato un patto con Protagora secondo cui questi sarebbe stato pagato per le sue lezioni non appena il primo avesse vinto la sua prima causa, cosa che Eulato non fece. L'argomentazione protagorea basata sul dilemma fu la seguente:
Eulato o vince la causa o non vince la causa
Se Eulato vince la causa deve pagarmi per via del nostro patto
e se Eulato non vince la causa deve pagarmi lo stesso perché
così decide il giudice
Quindi Eulato deve pagarmi in ogni caso.
Tuttavia, così rispose Eulato
Eulato vince la causa o non vince la causa
Se Eulato vince la causa allora non paga perché così ha deciso il giudice
Quindi Eulato non paga in ogni caso.
Naturalmente non è dato che tutti e due valgano contemporaneamente: almeno uno non vale. Nella fattispecie, l'asimmetria deriva non tanto dall'inferenza sillogistica che è condotta correttamente in entrambi i casi, quanto dalle premesse: nel primo caso, è dubbia la prima parte della II proposizione, nel secondo caso, è dubbia la seconda parte della II proposizione.